Background

Trie树（又称前缀树、字典树）是一种高效的数据结构，用于处理字符串的查询、插入和删除操作。它主要用于实现词典、搜索引擎的自动补全、拼写检查等功能。Trie树的特点是每个节点表示一个字符，从根节点到任意一个叶子节点的路径表示一个字符串。

Trie树的基本组成如下：

1. 节点：每个节点代表一个字符，通常包含一个指向子节点的指针数组，以及一个布尔值，表示该节点是否是一个完整字符串的结尾。
2. 根节点：树的根节点，不包含任何字符，但可以指向其他节点。
3. 子节点：一个节点可以有多个子节点，每个子节点代表一个字符。

Trie树的主要操作包括：

1. 插入：将一个字符串插入Trie树中。从根节点开始，遍历字符串的每个字符，沿着对应的子节点路径向下搜索。如果路径不存在，创建新节点。当到达字符串的最后一个字符时，将节点的布尔值设为True，表示到此为止的路径构成一个完整的字符串。
2. 查询：检查一个字符串是否存在于Trie树中。从根节点开始，遍历字符串的每个字符，沿着对应的子节点路径向下搜索。如果找不到对应的子节点，说明字符串不存在。如果遍历到最后一个字符，检查节点的布尔值。如果为True，表示该字符串存在。
3. 删除：从Trie树中删除一个字符串。首先查询该字符串是否存在。如果存在，从最后一个字符的节点开始，将其布尔值设为False，然后逐级向上删除没有子节点的节点。
4. 前缀查询：查询某个前缀的所有字符串。从根节点开始遍历前缀的每个字符，沿着对应的子节点路径向下搜索。到达前缀的最后一个字符时，遍历其所有子树，收集所有布尔值为True的节点，将它们的路径组合成完整的字符串。

Trie树的优点：

1. 查询、插入和删除操作的时间复杂度为O(m)，其中m是字符串的长度。与字符串的数量无关，因此在处理大量字符串时具有很高的性能。
2. 前缀查询非常高效，适用于自动补全、拼写检查等场景。

Trie树的缺点：

1. 空间复杂度较高，因为每个节点需要存储一个指向子节点的指针数组。在实际应用中，可以采用压缩或者优化的数据结构来减小空间开销，如压缩字典树（Radix Tree）、Ternary Search Tree等。

Implementation

1class TrieNode {
2    children: Map<string,TrieNode>;
3    endOfWord: boolean;
4
5    constructor() {
6        this.children = new Map();
7        this.endOfWord = false;
8    }
9}
10
11class Trie {
12    private root;
13
14    constructor() {
15        this.root = new TrieNode();
16    }
17
18    insert(word: string): void {
19        let current = this.root;
20        for (const char of word) {
21           const children = current.children;
22           if (!children.has(char)) {
23               children.set(char, new TrieNode());
24           }
25           current = children.get(char);
26        }
27        current.endOfWord = true;
28    }
29
30    search(word: string): boolean {
31        let current = this.root;
32        for (const char of word) {
33           const children = current.children;
34           if (children.has(char)) {
35               current = children.get(char);
36           } else {
37               return false;
38           }
39        }
40        return current.endOfWord;
41    }
42
43    startsWith(prefix: string): boolean {
44        let current = this.root;
45        for (const char of prefix) {
46           const children = current.children;
47           if (children.has(char)) {
48               current = children.get(char);
49           } else {
50               return false;
51           }
52        }
53        return true;
54    }
55}

Examples

Trie Tree（字典树）是一种树形数据结构，它用于高效地存储和查找字符串。Trie Tree 的每个节点表示一个字符，而从根节点到叶子节点所经过的所有字符组成一个字符串。Trie Tree 可以在 O(长度) 的时间内实现字符串的插入、删除和查询操作。下面列举了一些 Trie Tree 的应用：

1. 自动补全：Trie Tree 常用于搜索引擎、文本编辑器和输入法的自动补全功能。当用户输入前缀时，Trie Tree 可以快速找到以该前缀开头的所有字符串。
2. IP 路由查找：Trie Tree 可以用于查找网络中 IP 地址的最长匹配前缀。通过最长匹配前缀，路由器可以确定下一跳的地址，从而实现 IP 路由。
3. 词频统计：Trie Tree 可用于统计文本中单词的出现次数。将文本中的单词插入到 Trie Tree 中，然后在每个单词的末尾节点记录单词出现的次数。
4. 前缀匹配：Trie Tree 可以快速找到以某个前缀开头的所有字符串。这在文本分类、过滤和搜索中非常有用。
5. 词典查找：Trie Tree 可用于实现词典查找功能，用户可以通过输入单词的前缀来快速查找到完整的单词。
6. 拼写检查：Trie Tree 可用于实现拼写检查功能。将正确拼写的单词存储在 Trie Tree 中，然后通过比较输入的单词与 Trie Tree 中的单词来判断拼写是否正确。
7. 字符串排序：Trie Tree 可以对字符串进行排序。将字符串插入到 Trie Tree 中，然后通过深度优先搜索（DFS）遍历 Trie Tree，输出排序后的字符串。

总之，Trie Tree 是一种非常实用的数据结构，可以应用于许多字符串处理场景。

find_maximum_xor

1use std::collections::HashSet;
2
3pub fn find_maximum_xor(nums: Vec<i32>) -> i32 {
4    let mut max_xor = 0;
5    let mut mask = 0;
6
7    for i in (0..=31).rev() {
8        mask |= 1 << i;
9        let prefixes: HashSet<i32> = nums.iter().map(|num| num & mask).collect();
10        let temp_max_xor = max_xor | (1 << i);
11        for &prefix in &prefixes {
12            // if a ^ b = c, then a ^ c = b and b ^ c = a
13            if prefixes.contains(&(temp_max_xor ^ prefix)) {
14                max_xor = temp_max_xor;
15                break;
16            }
17        }
18    }
19
20    max_xor
21}

这是一个Rust语言的函数，名为find_maximum_xor，其目的是从给定的整数向量（nums: Vec<i32>）中找出两个数，使得它们的异或（XOR）值最大。

在这个函数中，异或运算的特点被充分利用：如果a ^ b = c，那么a ^ c = b并且b ^ c = a。

让我详细解释一下这段代码的逻辑：

1. let mut max_xor = 0; let mut mask = 0;：创建并初始化变量max_xor（用来记录目前找到的最大异或值）和mask（用于生成前缀）。
2. for i in (0..=31).rev()：这是一个循环，从31到0，覆盖了一个32位整数的所有位。
3. mask |= 1 << i;：将mask的第i位设为1（i从31到0），用于在下一步中生成所有可能的i位前缀。
4. let prefixes: HashSet<i32> = nums.iter().map(|num| num & mask).collect();：使用mask来获取数组nums中所有数字的前i位前缀，并将这些前缀存储到HashSet中。HashSet用于高效查找。
5. let temp_max_xor = max_xor | (1 << i);：尝试将max_xor的第i位设为1，看看是否有两个数能使它们的异或结果为这个值。
6. for &prefix in &prefixes { if prefixes.contains(&(temp_max_xor ^ prefix)) {...}：对于每个前缀，我们检查temp_max_xor ^ prefix是否也在前缀集合中。如果存在，那么说明我们可以在数组中找到两个数，它们的前i位异或结果为temp_max_xor。
7. max_xor = temp_max_xor; break;：如果我们找到这样的两个数，我们就把temp_max_xor赋值给max_xor，并跳出当前的for循环。
8. max_xor：在遍历所有的位之后，我们返回max_xor，这就是数组中两个数能得到的最大异或结果。

这个函数的主要思想是从最高位开始，试图让结果的每一位都尽可能地为1。通过使用贪心的策略，我们可以在O(n)的时间复杂度内求解这个问题，n为nums的长度。