详细的例子和推理来解释「所有子字符串中的元音」这道题的高效做法。

问题本质

给定一个字符串 word，你需要返回所有子字符串中元音（'a', 'e', 'i', 'o', 'u'）出现的总次数。
注意：不是统计不同子串的元音数，而是所有子串中元音出现的总和，即每个元音在所有包含它的子串中都要计数。

直观但低效的做法

最直接的思路是：

• 枚举所有子串
• 对每个子串统计元音数并累加

但这样复杂度是 $O(n^3)$（枚举子串 $O(n^2)$，每个子串统计元音 $O(n)$），对于长字符串会超时。

高效做法的核心思想

每个元音在所有包含它的子串中会被重复计数多次。我们可以直接计算每个元音在多少个子串中出现，然后累加。

数学推导

假设字符串长度为 $n$，元音出现在下标 $i$（从0开始）。

• 以 $i$ 结尾的子串有 $i+1$ 个（起点可以是0到i）
• 以 $i$ 为起点的子串有 $n-i$ 个（终点可以是i到n-1）

所以包含下标 $i$ 的所有子串数量是 $(i+1) \times (n-i)$。

举例说明：

假设字符串是 "abcde"，长度为5。

• 下标0的字符'a'，出现在 $(0+1) \times (5-0) = 5$ 个子串里
• 下标4的字符'e'，出现在 $(4+1) \times (5-4) = 5$ 个子串里

实现步骤

1. 初始化总数为0。
2. 遍历字符串的每个字符及其下标。
3. 如果是元音，计算它的贡献 $(i+1) \times (n-i)$ 并加到总数上。
4. 遍历结束后返回总数。

代码（Go语言）

1func countVowels(word string) int64 {
2    n := len(word)
3    var total int64 = 0
4    vowels := map[byte]bool{'a': true, 'e': true, 'i': true, 'o': true, 'u': true}
5    for i := 0; i < n; i++ {
6        if vowels[word[i]] {
7            total += int64(i+1) * int64(n-i)
8        }
9    }
10    return total
11}

例子详细推演

以 word = "aba" 为例：

• 长度 n = 3
• 下标0: 'a'，是元音，贡献 = (0+1)*(3-0)=3
• 下标1: 'b'，不是元音，贡献=0
• 下标2: 'a'，是元音，贡献 = (2+1)*(3-2)=3

总和 = 3 + 0 + 3 = 6

所有子串及元音数如下：

• "a"：1
• "ab"：1
• "aba"：2
• "b"：0
• "ba"：1
• "a"：1 总和 = 1+1+2+0+1+1 = 6

和公式计算一致。

总结

• 每个元音出现的次数 = (下标+1) * (总长-下标)
• 只需遍历一次字符串，时间复杂度 O(n)，空间 O(1)
• 适合大数据量场景